Elaborazioni probabilistiche¶
Le elaborazioni stimano i parametri di una distribuzione di probabilità che descrive il regime delle piogge intense, e da quella estraggono le altezze attese per assegnati tempi di ritorno \(T\).
Tutte assumono che i massimi annui per durata fissata siano realizzazioni indipendenti di una stessa variabile aleatoria.
Gumbel (EV1)¶
La distribuzione di Gumbel a 2 parametri descrive i massimi di campioni grandi:
Due stimatori disponibili:
- Metodo dei momenti. Veloce, robusto. \(\beta = s \sqrt{6}/\pi\), \(\mu = \bar{h} - \gamma\,\beta\) (\(\gamma \approx 0.5772\) costante di Eulero-Mascheroni).
- Massima Verosimiglianza (ML). Iterativo, leggermente più efficiente.
GEV — Generalized Extreme Value (L-moments)¶
Famiglia che generalizza Gumbel: include una shape \(\kappa\) che permette code pesanti (\(\kappa > 0\)) o limitate (\(\kappa < 0\)).
I tre parametri \((\xi, \alpha, \kappa)\) sono stimati con i L-moments (Hosking 1990) — più robusti dei momenti classici per campioni piccoli.
Le altezze h(T):
Quando GEV vs Gumbel?
GEV è da preferire se la serie ha pochi anni e valori estremi anomali. Per serie >50 anni e niente "code lunghe", Gumbel è di solito sufficiente e più semplice da giustificare in relazione.
Pearson III (metodo dei momenti — Foster/Kite)¶
Distribuzione a 3 parametri (\(\bar{h}, s, C_s\) = media, deviazione, asimmetria) storicamente popolare nel mondo anglosassone:
con \(K_T\) frequency factor tabulato (formula di Wilson-Hilferty per calcolarlo analiticamente).
Utile quando la serie ha asimmetria marcata e Gumbel sottostima la coda.
TCEV — Two-Component Extreme Value (VA.PI. — Italia)¶
Modello regionale per il territorio italiano basato sul programma VA.PI. (Valutazione delle Piene in Italia, CNR-GNDCI). Distingue eventi ordinari e eventi straordinari ammettendo due componenti EV1 sovrapposte.
I 4 parametri \((\Lambda_1, \theta_1, \Lambda_2, \theta_2)\) sono difficili da stimare puntualmente: Runoff Lab NX implementa i 4 livelli di regionalizzazione classici:
| Livello | Cosa fissa | Cosa stima |
|---|---|---|
| 0 — puntuale | nessun parametro regionale | tutti e 4 dalla stazione (poco affidabile sotto 30 anni) |
| 1 — regionale | \(\Lambda^* = \Lambda_2/\Lambda_1\), \(\Theta^* = \theta_2/\theta_1\) | gli altri 2 dalla stazione |
| 2 | come 1 + \(\Lambda_1\) | resta solo \(\theta_1\) |
| 3 | tutti i parametri di forma regionali; \(\theta_1\) da scala | adimensionale + scala locale |
Il dataset VA.PI. è caricato per le regioni italiane note. Per regioni o paesi non coperti l'opzione TCEV non è disponibile (il pannello la nasconde quando la lingua dell'interfaccia è diversa dall'italiano).
Quando TCEV ha senso
TCEV cattura bene la coda alta degli eventi catastrofici tipici del clima italiano (alluvioni convettive su bacini piccoli). È il modello consigliato da molte autorità di bacino per Vigilanza idraulica e PAI.
Test di adattamento¶
Per ogni elaborazione il software calcola due test:
- Kolmogorov-Smirnov (KS): massima distanza fra CDF empirica e teorica. Confronto col valore critico al 5%.
- Pearson χ²: confronto su classi di frequenza.
Entrambi sono non rigetto al 5% se il p-value > 0.05. Una sola distribuzione che passa entrambi è preferibile a due che ne falliscono uno.
Bibliografia di riferimento¶
- Gumbel E.J. (1958), Statistics of Extremes, Columbia University Press.
- Hosking J.R.M. (1990), L-moments: analysis and estimation of distributions using linear combinations of order statistics, J. Royal Stat. Soc. B 52.
- Kite G.W. (1977), Frequency and Risk Analyses in Hydrology, Water Resources Publ.
- Rossi F., Versace P. (1982), Criteri e metodi per l'analisi statistica delle piene, CNR-PFC, Italia.
- Programma VA.PI. — CNR-GNDCI, Valutazione delle Piene in Italia, rapporti regionali.