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Metodo lineare equivalente

RSL III implementa il metodo lineare equivalente di Idriss-Seed (1968, 1970), lo standard di settore per l'analisi di risposta sismica locale 1D nel dominio della frequenza.

Idea di base

Il terreno reale è non lineare: G e ξ dipendono da γ_max raggiunto durante il sisma. Una vera analisi non lineare risolve l'equazione del moto al passo nel dominio del tempo, con leggi costitutive isteretiche complesse.

L'approccio lineare equivalente è un compromesso pratico:

  1. Risolvi un'analisi lineare in dominio frequenziale (semplice e rapida)
  2. Stima γ_max in ogni strato
  3. Aggiorna G e ξ alla "secante" che corrisponde a γ_eff = 0.65 · γ_max
  4. Ri-risolvi l'analisi lineare con i nuovi G e ξ
  5. Itera fino a convergenza

Il γ_eff = 65% di γ_max è un'approssimazione empirica per "rappresentare" l'effetto medio della non-linearità durante l'intera storia ciclica.

Schema di calcolo

Passo 1 — Discretizzazione

La colonna stratigrafica viene discretizzata in N sotto-strati di spessore Δh. Criterio per evitare aliasing alle alte frequenze:

\[ \Delta h \leq \frac{V_s^{\min}}{4 \cdot f_{\max}} \]

con f_max = 25 Hz (default). Per Vs minimo = 100 m/s → Δh ≤ 1 m.

RSL III calcola Δh automaticamente; tipicamente discretizza in 20-50 sotto-strati.

Passo 2 — Funzione di trasferimento

Per onde S piane verticali in colonne stratificate orizzontalmente, la funzione di trasferimento H(ω) tra superficie e bedrock si calcola con il metodo dei coefficienti di riflessione/trasmissione (Haskell-Thomson, ovvero il metodo propagator matrix di Aki-Richards):

\[ H(\omega) = \frac{u_{\text{surface}}(\omega)}{u_{\text{bedrock}}(\omega)} \]

dove ogni interfaccia tra strati genera coefficienti r (riflessione) e t (trasmissione) funzione delle impedenze acustiche Z = ρ · Vs.

Per N strati la trasformazione diventa un prodotto di matrici 2×2 (una per strato). RSL III lo calcola alle ~2000-4000 frequenze del Fourier dell'accelerogramma.

Passo 3 — Spettro di Fourier output

\[ F_{\text{out}}(\omega) = H(\omega) \cdot F_{\text{in}}(\omega) \]

L'antitrasformata di Fourier dà l'accelerogramma in superficie nel dominio del tempo.

Passo 4 — Stima γ_max

In ogni sotto-strato, dato il taglio massimo τ_max calcolato:

\[ \gamma_{\max} = \frac{\tau_{\max}}{G_{\text{secant}}} \]

E quindi:

\[ \gamma_{\text{eff}} = 0{,}65 \cdot \gamma_{\max} \]

Passo 5 — Aggiorna G e ξ

Per ogni sotto-strato leggi le curve di degradazione al γ_eff:

  • G_new = G_max · (G/G_max)(γ_eff)
  • ξ_new = ξ(γ_eff)

Passo 6 — Convergenza

Confronta γ_eff(iter) con γ_eff(iter-1). Se la massima variazione su tutti i sotto-strati è < tolleranza (default 0.5%), convergenza raggiunta. Altrimenti torna al passo 2 con i nuovi G e ξ.

Tipicamente converge in 4-8 iterazioni per accelerogrammi standard.

Limiti del metodo

1. Equivalenza media

Il γ_eff = 65% di γ_max è un proxy dell'effetto medio. Per accelerogrammi con un picco molto isolato + bassa coda (es. eventi quasi-impulsivi) sovrastima la non-linearità. Per accelerogrammi con molti cicli a ampiezza simile (lunga coda) la stima è buona.

2. Non lineare strong-motion

Per deformazioni γ > 1% il metodo lineare equivalente diventa inaccurato: le argille molto deformate hanno comportamento isteretico asimmetrico che il modello secante non cattura. Per scuotimenti estremi (pendii instabili in zona Friuli/L'Aquila) usa SRA non lineare nel dominio del tempo.

3. 1D verticale

Assume propagazione verticale di onde S. Non cattura:

  • Effetti 2D / 3D di topografia (creste, valli)
  • Effetti di bacino sedimentario (riflessioni laterali)
  • Onde di superficie (Rayleigh, Love)

Per siti con topografia importante o geometria di bacino marcata, abbinare analisi 2D con Geostru RSL 2D, il nostro software dedicato alla risposta sismica locale bidimensionale.

4. Bedrock orizzontale

L'interfaccia bedrock-terreno è assunta orizzontale. Per bedrock molto inclinato (es. accumuli di versante) la rappresentazione 1D è inadeguata.

Quando usare RSL III (e quando no)

✅ Adatto:

  • Studi di microzonazione sismica Livello 3 (ICMS)
  • Verifica spettro NTC vs spettro di sito per progettazione standard
  • Ammassi terrigeni stratificati orizzontalmente con Vs noto
  • Eventi sismici di intensità moderata (a_max ≤ 0.4 g, γ_max < 1%)

❌ Non adatto (o richiede integrazione con altri tool):

  • Studi su pendii o crinali (servono FA topografici 2D)
  • Analisi di liquefazione in tempo reale (RSL stima γ_max ma non il build-up delle pressioni neutre — usa LiquiTer per la liquefazione)
  • Eventi ad alta non-linearità (a_max > 0.6 g, γ > 2%)
  • Bacini sedimentari profondi con effetti 2D/3D

Riferimenti

  • Idriss I.M., Seed H.B. (1968) — Seismic response of horizontal soil layers. JSMFD, ASCE
  • Schnabel P.B., Lysmer J., Seed H.B. (1972) — SHAKE: A computer program for earthquake response analysis of horizontally layered sites. EERC Report, UC Berkeley
  • Bardet J.P., Tobita T. (2001) — NERA / EERA: Equivalent-linear earthquake site response analyses
  • Kramer S.L. (1996) — Geotechnical Earthquake Engineering. Prentice Hall
  • ICMS 2008/2018 — Indirizzi e Criteri per la Microzonazione Sismica, Dipartimento della Protezione Civile

Vedi anche

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