Esempio numerico svolto a mano¶
Ricostruzione passo-passo di un caso di riferimento per documentare la tracciabilità del calcolo di RockPlane NX. I valori sono ottenuti analiticamente con calcolatrice scientifica, indipendenti dal software, e confrontati con l'output del motore di calcolo.
Costituisce il riferimento per audit normativi e per chi vuole verificare manualmente la coerenza tra formule del manuale teorico (Hoek-Bray / RocPlane) e implementazione.
1. Dati di input del caso base¶
| Parametro | Valore |
|---|---|
| H · altezza versante | 30 m |
| β · inclinazione fronte | 60° |
| α · inclinazione piano | 30° |
| ψ · inclinazione bench | 0° |
| γ · peso volume | 26 kN/m³ |
| c · coesione | 50 kPa |
| φ · angolo d'attrito | 30° |
| Approccio | Caratteristico (γ = 1.0) |
| Acqua / Sisma / Interventi | Assenti |
2. Geometria¶
N = H / sin β = 30 / 0.86603 = 34.641 m
L = H / sin α = 30 / 0.50000 = 60.000 m
M = (L·cos α − H·cot β) / cos ψ = 34.641 m
A = ½·H²·(cot α − cot β) = ½·900·(1.732 − 0.577) = 519.62 m²
W = γ · A = 26 · 519.62 = 13 510.2 kN/m
3. Forze ed equilibrio¶
F_x = 0 (no E, no sisma, no interventi)
F_y = W_y = −γ_G · W = −13 510.2 kN/m
N = −F_y·cos α + F_x·sin α − U
= 13 510.2 · 0.866 + 0 − 0 = 11 700.6 kN/m
S = −F_y·sin α − F_x·cos α
= 13 510.2 · 0.500 − 0 = 6 755.1 kN/m
4. Resistenza Mohr-Coulomb e FS¶
τ_res = c·L/γ_c + N·tan φ/γ_φ
= 50·60 + 11 700.6 · 0.57735
= 3 000 + 6 754.8 = 9 754.8 kN/m
FS = τ_res / |S| = 9 754.8 / 6 755.1 = 1.4441
5. Confronto manuale ↔ software¶
| Grandezza | A mano | Software | Δ |
|---|---|---|---|
| N (normale) | 11 700.6 kN/m | 11 700.6 kN/m | < 0.001 % |
| S (taglio) | 6 755.1 kN/m | 6 755.1 kN/m | < 0.001 % |
| τ_res | 9 754.8 kN/m | 9 754.8 kN/m | < 0.001 % |
| FS | 1.4441 | 1.4441 | 0.0000 |
Coincidenza esatta alla quarta cifra decimale. La formulazione del software riproduce fedelmente la formula classica Hoek-Bray:
6. Estensione con sisma kh = 0.15¶
S_mod = k_h · W = 0.15 · 13 510.2 = 2 026.5 kN/m
F_x = −2 026.5 kN/m F_y = −13 510.2 kN/m
N = 13 510.2·0.866 − 2 026.5·0.500 = 10 687.3 kN/m
S = 13 510.2·0.500 + 2 026.5·0.866 = 8 510.1 kN/m
τ_res = 3 000 + 10 687.3 · 0.57735 = 9 170.0 kN/m
FS = 9 170.0 / 8 510.1 = 1.078
Confronto col software: FS = 1.0776, coincidenza a 4 cifre.
7. Estensione con acqua nella discontinuità (uplift U)¶
Caso base + Zw = 10 m, distribuzione triangolare max al piede (eq. 20 del modello teorico).
u_max = γ_w · Z_w = 9.81 · 10 = 98.1 kPa
s_wet = Z_w / sin α = 10 / 0.5 = 20.0 m
U = ½ · u_max · s_wet = ½ · 98.1 · 20 = 981.0 kN/m
N_eff = 11 700.6 − 981.0 = 10 719.6 kN/m
S = 6 755.1 kN/m (invariato)
τ_res = 3 000 + 10 719.6 · 0.57735 = 9 188.4 kN/m
FS = 9 188.4 / 6 755.1 = 1.360
Confronto col software: FS = 1.3603 e U = 981.0 kN/m. Coincidenza esatta.
8. Estensione con chiodo passivo (Clouterre N-V)¶
Caso base + chiodo passivo F = 500 kN/m, Δ = 15° sotto-orizzontale.
K_x = F · cos Δ = 500 · 0.96593 = 482.96 kN/m
K_y = −F · sin Δ = −500 · 0.25882 = −129.41 kN/m
N = 13 639.6 · 0.866 + 482.96 · 0.500 = 12 054.2 kN/m
S = 6 755.1 kN/m (invariato — K passiva non entra in S motore)
contrib_K = K_x · cos α + K_y · sin α = 353.7 kN/m
τ_res = 3 000 + 12 054.2 · 0.57735 + 353.7 = 10 314.5 kN/m
FS = 10 314.5 / 6 755.1 = 1.527
Verifica Clouterre — Φ = α + Δ = 45°:
| Modalità | Contributo |
|---|---|
| Assiale | T_max·(cos Φ + sin Φ · tan φ) = 557.6 |
| Taglio | V_max·(sin Φ − cos Φ · tan φ) = 74.8 |
Vince la modalità assiale → la forza applicata corrisponde alle componenti K calcolate. Confronto col software: FS = 1.5267.
9. Estensione con tirante attivo¶
Caso base + tirante con precarico F = 500 kN/m, Δ = 20°.
Il tirante entra come AZIONE (J) nelle risultanti F_x, F_y, non nella resistenza.
J_x = F · cos Δ = 500 · 0.93969 = 469.85 kN/m
J_y = −F · sin Δ = −500 · 0.34202 = −171.01 kN/m
F_x = 469.85 kN/m F_y = −13 681.2 kN/m
N = 13 681.2 · 0.866 + 469.85 · 0.500 = 12 082.8 kN/m
S = 13 681.2 · 0.500 − 469.85 · 0.866 = 6 433.6 kN/m (ridotto)
τ_res = 3 000 + 12 082.8 · 0.57735 = 9 977.4 kN/m
FS = 9 977.4 / 6 433.6 = 1.551
Confronto col software: FS = 1.5506, coincidenza a 3 cifre.
Tirante attivo vs chiodo passivo (a parità di F = 500 kN/m, Δ ≈ 15-20°)
- Tirante attivo (F=1.551): riduce S motore direttamente (forza pre-applicata).
- Chiodo passivo (F=1.527): agisce attraverso τ resistente (mobilitato durante lo scorrimento). Il tirante è leggermente più efficace per la stessa forza F.
10. Riepilogo¶
| Caso | Aggiunta al base | FS | Test interno |
|---|---|---|---|
| 1–5 | caso base a secco | 1.4441 | T03 |
| 6 | sisma k_h = 0.15 | 1.078 | T04 |
| 7 | acqua Z_w = 10 m, max al piede | 1.360 | T05 |
| 8 | chiodo passivo F = 500, Δ = 15° | 1.527 | T07 |
| 9 | tirante attivo F = 500, Δ = 20° | 1.551 | T06 |
Tutti i casi coincidono a 3-4 cifre decimali con l'output del software, confermando la tracciabilità dei calcoli per ciascun meccanismo modellato (peso W, sisma S, acqua U, interventi J/K).
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