Modello teorico¶

RockPlane NX implementa il metodo dell'equilibrio limite (Limit Equilibrium Method, LEM) sul cuneo planare in roccia, secondo il manuale Hoek-Bray (1981) e la documentazione Rocscience RocPlane.

Ipotesi del modello¶

Rottura planare: la superficie di scorrimento è una singola discontinuità persistente orientata in modo da soddisfare il daylighting (α < β).
Cuneo bidimensionale: si analizza una sezione tipo per metro di sviluppo lungo la cresta; il blocco è esteso ortogonalmente con profondità B.
Corpo rigido: il cuneo è trattato come corpo rigido. Le forze entrano nell'equilibrio come risultanti; il punto di applicazione non è rilevante (solo equilibrio di traslazione, non di rotazione).
Mohr-Coulomb: resistenza al taglio sul piano modellata con criterio lineare τ = c' + σ_n·tan φ'.
Acqua: pressioni interstiziali u(s) note (analisi disaccoppiata flusso/equilibrio).
Sisma: forza inerziale pseudostatica k_h·W applicata al baricentro.

Riferimento cartesiano¶

                ψ
        B─────────────C  (sommità del piano)
       /│             │
      / │             │
     /  │             │
    /β  │             │ H
   /    │             │
  /     │             │
 O──────┴──────────────
 │ X→ verso monte
 │ Y↑ verticale

O = (0, 0) — piede del versante
X positivo = verso monte (intact rock)
Y verticale positivo verso l'alto
t̂ = (−cos α, −sin α) — direzione di scorrimento del cuneo (verso valle-basso)

Geometria — Caso A (senza tension crack)¶

Equazioni (1)–(9) del manuale teorico:

\[ N = \frac{H}{\sin\beta} \]

\[ B_x = H \cdot \cot\beta, \quad B_y = H \]

\[ L = H \cdot \frac{1 - \cot\beta \cdot \tan\psi}{\sin\alpha - \cos\alpha \cdot \tan\psi} \]

\[ M = \frac{L \cdot \cos\alpha - H \cdot \cot\beta}{\cos\psi} \]

\[ C_x = L \cdot \cos\alpha, \quad C_y = L \cdot \sin\alpha \]

\[ A = \frac{1}{2} \cdot |B_x \cdot C_y - B_y \cdot C_x| \]

\[ W = \gamma \cdot A \]

Geometria — Caso B (con tension crack)¶

Equazioni (11)–(18):

\[ C = B + (T, T \cdot \tan\psi) \]

\[ M = \frac{T}{\cos\psi} \]

\[ Q = \frac{C_y \cdot \cot\alpha - C_x}{\sin\theta \cdot \cot\alpha - \cos\theta} \quad \text{(eq. 17)} \]

\[ L = \frac{C_x - Q \cdot \cos\theta}{\cos\alpha} \quad \text{(eq. 15)} \]

\[ D = (L \cdot \cos\alpha, L \cdot \sin\alpha) \quad \text{(eq. 14)} \]

\[ A = \frac{1}{2}|B \times D| + \frac{1}{2}|(D - B) \times (C - B)| \quad \text{(eq. 18)} \]

Equilibrio di traslazione (eq. 26–30)¶

Forze attive sul cuneo¶

Le azioni esterne applicate al cuneo:

Termine	Origine	Componenti
W	peso del cuneo	\(W_y = -\gamma_G \cdot W\)
E	forza esterna	\(E_x = -\gamma_a \cdot E \cos\delta, E_y = -\gamma_a \cdot E \sin\delta\)
S sisma	inerziale pseudostatica	\(S_x = -k_h W \cos\Omega, S_y = -k_h W \sin\Omega\)
J	tiranti attivi	\(J_x = F \cos\Delta, J_y = -F \sin\Delta\)
V	acqua nella tension crack	\(V_x = -V \sin\theta, V_y = V \cos\theta\)
U_p	acqua ponded esterna	direzione ⟂ al fronte
R1	rete corticale	direzione ⟂ al fronte, verso il cuneo

Risultanti¶

\[ F_x = E_x + S_x + J_x + V_x + U_{p,x} + R_{1,x} \]

\[ F_y = W_y + E_y + S_y + J_y + V_y + U_{p,y} + R_{1,y} \]

Normale e taglio sul piano (eq. 28–29)¶

\[ N = -(F_y + K_y) \cdot \cos\alpha + (F_x + K_x) \cdot \sin\alpha - U \quad \text{(eq. 28)} \]

\[ S = -F_y \cdot \sin\alpha - F_x \cdot \cos\alpha \quad \text{(eq. 29)} \]

dove K_x/K_y sono i contributi dei chiodi passivi (vedi sotto) e U è la sottospinta uplift dell'acqua sul piano.

Resistenza Mohr-Coulomb (eq. 30)¶

\[ \tau = \frac{c \cdot L}{\gamma_c} + N \cdot \frac{\tan\varphi}{\gamma_\varphi} + K_x \cos\alpha + K_y \sin\alpha + \tau_{rete} \]

Fattore di sicurezza¶

\[ FS = \frac{\tau}{|S|}, \quad \text{verificato:} \quad FS \geq FS_{richiesto} = \gamma_R \]

Chiodi passivi — interazione N-V Clouterre¶

Per chiodi passivi, la barra mobilita simultaneamente trazione T e taglio V al passaggio del piano. Criterio di Clouterre 1993 lineare:

\[ \frac{T}{T_{max}} + \frac{V}{V_{max}} \leq 1 \]

RockPlane calcola la modalità ottima che massimizza il contributo a τ resistente, considerando sia il contributo diretto (T·cos Φ + V·sin Φ) sia l'incremento di N che attiva attrito:

\[ \text{contrib}_{axial} = T_{max} \cdot (\cos\Phi + \sin\Phi \cdot \tan\varphi_{des}) \]

\[ \text{contrib}_{shear} = V_{max} \cdot (\sin\Phi - \cos\Phi \cdot \tan\varphi_{des}) \]

con Φ = α + Δ angolo bar-piano. Si sceglie la modalità con contributo maggiore (corner solution).

Acqua sul piano — U uplift¶

La pressione interstiziale u(s) lungo il piano di rottura genera una sottospinta U normale al piano:

\[ U = \int_0^L u(s) \, ds \]

Quattro forme di distribuzione (vedi Acque): - Assente - Triangolare con picco a metà altezza - Triangolare con picco al piede (eq. 20 manuale, \(u_{max} = \gamma_w \cdot Z_w\)) - Triangolare con picco alla base della fessura di trazione

Ricerca α critico¶

Sweep dell'inclinazione del piano di rottura per individuare il valore che minimizza FS:

for α in [α_min, α_max] step 1°:
    compute FS(α)
refine around argmin α with step 0.05°
return α_critico

Dominio di sweep: α ∈ (max(0.5°, ψ+0.5°), β−0.5°) — cinematicamente ammissibile.

Dettagli α critico →

Coefficienti parziali — applicazione¶

Approccio	Su W (γ_G)	Su E var. (γ_Q)	Su tan φ' (γ_φ')	Su c' (γ_c')	FS richiesto
Caratteristico	1.00	1.00	1.00	1.00	1.30 (default)
NTC 2018 A2+M2+R2	1.00	1.30	1.25	1.25	1.10
EC7 DA1.C1	1.35	1.50	1.00	1.00	1.00
EC7 DA1.C2	1.00	1.30	1.25	1.25	1.00
EC7 DA2	1.35	1.50	1.00	1.00	1.10
EC7 DA3	1.00	1.30	1.25	1.25	1.00

γ_E (sisma) = 1.00 in tutti gli approcci (NTC §3.2.4 / EC8).

Validazione¶

Il software è validato con 97 test automatici (xUnit), di cui 12 benchmark con valori attesi da formula analitica. Esito: 97/97 PASSATI. Vedi Annex A nella relazione di calcolo generata dal software.

Riferimenti¶

Hoek E., Bray J.W. — Rock Slope Engineering, 3rd ed., 1981
Rocscience — RocPlane Theory Manual, Toronto
Clouterre — Recommandations Clouterre 1991/1993
FHWA — Soil Nail Walls Reference Manual, FHWA-NHI-09-035 (2009)
Bustamante M., Doix B. — Une méthode pour le calcul des tirants et des micropieux injectés, 1985
NTC 2018 — Decreto Ministeriale 17 gennaio 2018
Circolare Ministeriale n. 7 del 21 gennaio 2019
EN 1997-1 — Eurocodice 7